Кевин Хартнет
Пробив в Теоретичната Физика: Амплитуедърът, Сблъсъците на Частици и Изкуството Оригами
Амплитуедърът е геометрична фигура с почти мистично качество: изчислете обема му и ще получите отговора на централно изчисление във физиката за това как частиците си взаимодействат.
Сега млад математик от Университета Корнел на име Павел (Паша) Галашин откри, че амплитуедърът е мистериозно свързан и с друга напълно несвързана тема: оригами, изкуството на сгъването на хартия. В доказателство, публикувано през октомври 2024 г., той показа, че моделите, които възникват в оригами, могат да бъдат преведени в набор от точки, които заедно образуват амплитуедра. По някакъв начин начинът, по който хартията се сгъва, и начинът, по който частиците се сблъскват, произвеждат една и съща геометрична форма.
«Паша е правил брилянтна работа, свързана с амплитуедра преди», казва Нима Аркани-Хамед, физик от Института за напреднали изследвания, който въвежда амплитуедра през 2013 г. със своя студент по това време Ярослав Трнка. «Но това е нещо от следващо ниво за мен.»
Използвайки тази нова връзка с оригамито, Галашин успява да разреши и открита хипотеза за амплитуедра, която физиците отдавна приемат за вярна, но не са успели да докажат стриктно: че формата наистина може да бъде разрязана на по-прости градивни елементи, които съответстват на изчисленията, които физиците искат да направят. С други думи, парчетата на амплитуедра наистина се вписват по начина, по който трябва да го направят.
Резултатът не просто изгражда мост между две привидно различни области на изследване. Галашин и други математици вече проучват какво още може да им каже този мост. Те го използват, за да разберат по-добре амплитуедра и да отговорят на други въпроси в много по-широк диапазон от условия.
Изчисляване на сблъсъци на частици: Предизвикателствата на Физиката
Експлозивни изчисления
Физиците искат да предскажат какво ще се случи, когато фундаменталните частици си взаимодействат. Да речем, две субатомни частици, наречени глуони, се сблъскват. Те могат да отскачат един от друг непроменени, или да се трансформират в набор от четири глуона, или да направят нещо съвсем друго. Всеки резултат възниква с определена вероятност, която е представена от математически израз, наречен амплитуда на разсейване.
В продължение на десетилетия физиците изчисляват амплитудите на разсейване по един от двата начина:
- Диаграми на Файнман: Чертежи с криволичещи линии, които описват как частиците се движат и взаимодействат. Всяка диаграма представлява математическо изчисление; чрез събиране на изчисленията, съответстващи на различни диаграми на Файнман, можете да изчислите дадена амплитуда на разсейване.
- Проблем: С увеличаването на броя на частиците, броят на диаграмите на Файнман нараства експлозивно. Изчисляването на сравнително прости събития може да изисква добавяне на хиляди или дори милиони термини.
- Рекурсия на BCFW (Брито-Качазо-Фенг-Витен): Въведен в началото на 2000-те години. Той разделя сложните взаимодействия на частици на по-малки, по-прости взаимодействия.
- Предимство: Изисква по-малко работа от диаграмите на Файнман (може да се наложи да съберете само стотици термини, вместо милиони).
- Общ проблем за двата метода: Окончателният отговор често е много по-прост от обширните изчисления, необходими за достигане до там, като много термини се анулират в крайна сметка.
След това, през 2013 г., Аркани-Хамед и Трнка направиха изненадващо откритие: че сложната математика на сблъсъците на частици всъщност е прикрита геометрия.
От Положителния Грасманиан до Амплитуедъра
Запазено от геометрия
В началото на 2000-те години Александър Постников, математик от Масачузетския технологичен институт, изучава геометричен обект, известен като положителен Грасманиан.
- Положителен Грасманиан: Изграден по силно абстрактен начин, той е съвкупността от всички специални «положителни» равнини в дадено n-измерно пространство, чиито минори (стойности от дефиниращата ги матрица) са положителни.
- Плабични графики: Постников изобретява тези мрежи от черно-бели върхове, свързани с ръбове, за да следи различните региони на положителния Грасманиан. Всяка плабична графика улавя една област, давайки на математиците визуален език за това, което иначе е дефинирано от алгебрични формули.
Почти десетилетие по-късно, Аркани-Хамед и Трнка, докато се борят с формулите си за рекурсия BCFW, забелязват, че графиките, които използват, изглеждат точно като плабичните графики на Постников. Те осъзнават, че:
- За да се изчисли амплитудата на разсейване за сблъсък на n частици, физиците ще трябва да съберат много BCFW членове;
- Всеки от тези членове съответства на област на положителния Грасманиан в n измерения.
Аркани-Хамед и Трнка осъзнават, че тази геометрична връзка може да улесни изчисляването на амплитудите на разсейване. Те дефинират по-нискоизмерна сянка на положителния Грасманиан, като общият обем на тази сянка е равен на амплитудата на разсейване.
И така се роди амплитуедърът.
Откритата Хипотеза: Триангулацията на Амплитуедъра на Импулса
Физиците и математиците искаха да потвърдят хипотезата за триангулация: Може ли амплитуедърът да бъде чисто триангулиран или разделен на по-прости градивни елементи?
- Доказването на това би затвърдило визията, че сложните формули на BCFW могат да бъдат разбрани като сума от обемите на градивните елементи на амплитуедра.
- Две версии на Амплитуедъра:
- Първата версия (в координати на импулса) беше доказана през 2021 г.
- Втората версия, известна като импулсен амплитуедър, е дефинирана директно от гледна точка на импулсите на сблъскващи се частици. Физиците се интересуват повече от тази версия, защото тя говори на същия език като реалните сблъсъци на частици. Хипотезата за триангулация за нея оставаше широко отворена.
Ако триангулацията се провалеше за амплитуедъра на импулса, това би означавало, че амплитуедърът не е правилният начин да се осмислят формулите BCFW.
Връзката с Оригами и Решаването на Хипотезата
Повече от десетилетие несигурността продължава – докато изследването на хартиените гънки не започва да предлага път напред.
Намиране на Голямата стъпка
Павел Галашин, като студент на Постников, работи върху връзка между положителния Грасманиан и модела на Изинг (който се използва за изучаване на поведението на системи като феромагнети). Докато работи, той се натъква на статии, в които изследователите използват други видове диаграми, за да направят геометрията по-гъвкава: оригами модели на гънки.
През 2023 г. Галашин се натъква на въпрос, свързан с оригами: Ако имате информация само за външната граница на гънката, винаги ли можете да намерите пълен модел на гънки, който създава правилно сплескваща се форма? Математиците предполагат «да», но не могат да го докажат.
След месеци на работа Галашин внезапно осъзнава, че: проблемът с оригамите може да се пренапише на езика на амплитуедра. Импулсния амплитуедър, при това.
«Отне много повече време, отколкото искам да призная», каза той. «Не очаквате връзката, така че никога не я осъзнавате. Не би трябвало да виждате Голямата стъпка в Манхатън.»
Забравете Flat
Галашин успява да докаже, че:
- Отговорът на въпроса за оригамите за моделите на плоските гънки наистина е «да»;
- Всеки път, когато такъв модел на гънки може да бъде намерен за дадена граница, точката, кодирана от тази граница, трябва да се намира в амплитуедра (импулсния амплитуедър).
Това е изцяло нов начин да се мисли за формата. «Това е най-удивителното нещо за мен в работата на Паша, че тази връзка с оригами просто ви дава тази невероятно красива едноредова дефиниция на импулсния амплитуедър», каза Аркани-Хамед.
Използвайки тази нова интерпретация, базирана на оригами, Галашин разработва алгоритъм, който:
- Взема граничен модел като вход и му присвоява уникален модел на гънки;
- Представя модела на гънките като плабична графика;
- Показва, че тази графика издълбава област на амплитуедра, като точката, кодирана от границата на този модел на гънка, се намира вътре в областта.
Това беше достатъчно, за да се реши въпросът за триангулацията. Тъй като алгоритъмът създава уникално съвпадение между граничния модел и модела на гънки, не може да има припокривания между областите. Също така, тъй като всяка точка в амплитуедра може да бъде пренаписана като граница, не може да има пропуски.
Амплитуедърът пасва идеално.
Нови мечти
«Да се свържат две привидно несвързани идеи винаги е доста красиво», каза Лорън Уилямс, математик в Харвардския университет.
Галашин се надява, че бъдещите разследвания ще разкрият по-дълбока причина за връзката. Физиците и математиците искат да видят дали могат да използват оригами за по-голямо разнообразие от теоретични изчисления за сблъсъци на частици, като например да изчислят амплитудата на разсейване директно от обема на амплитуедра, без да го разбиват на парчета.
«Като физик нямаше да измисля това след милион години», каза Аркани-Хамед. «Но намирам това за впечатляващ резултат и искам да го разбера повече и да видя какво може да ни каже.»
